图像的频域增强
一维傅里叶变换
傅里叶级数
任何一个周期函数都可以由一些不同频率的正弦（或余弦）函数线性叠加得到。
表示成数学表达式是这样子的：
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(n \omega x) + b_n \sin(n \omega x)] \]
其中
\[ a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos(n \omega x)\, dx \]
\[ b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin(n \omega x)\, dx \]
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]
这被称为傅里叶级数。由欧拉公式
\[ e^{i\theta}=cos\theta + i sin\theta \]
可将上述傅里叶级数公式变形为：
\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in \omega x} \]
\[ c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx \]
这里的系数cn经常被表示成函数的形式F(n)，它是一个离散的函数，即
\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n) e^{in \omega x} \]
\[ F(n) = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{-in \omega x}\, dx \]
例子：
http://www.falstad.com/fourier/
连续傅里叶变换
当周期趋向无穷大时，函数f变为非周期函数，其傅里叶级数中的
\[ \omega \]
就趋向于无穷小，离散的求和就变成了连续的积分：
\[ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{\infty} F(\omega)\ e^{ i \omega x }\,d \omega \]
其中
\[ F(\omega) = \int _{-\infty}^\infty f(x)\ e^{- i\omega x}\,dx \]
这就是连续傅里叶变换
离散时间傅里叶变换
当f(x)中的x是一个离散的变量时，傅里叶变换就变成了：
\[ f(n) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(\omega)\cdot e^{i \omega n} \, d \omega \]
\[ F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i \omega n} \]
F是周期性的
离散傅里叶变换
如何f(x)是离散的且是周期性的，傅里叶变换变成了：
\[ f(x) = \sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M} \]
\[ F(u) = \frac{1}{M}\sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M} \]
傅里叶变换与线性滤波
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换相当于先在x方向做一维傅里叶变换，然后对结果再做y方向的一维傅里叶变换，就得到了二维傅里叶变换的结果。
\[ F(u, v) = \int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy \]
\[ f(x, y) = \int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv \]
二维的离散傅里叶变换也是类似的：
\[ F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)} \]
\[ f(x,y)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)} \]
F(u,v)的幅度和相位分别是：
\[ |F(u,v)|=[R^2(x,y)+I^2(x,y)]^{1/2} \]
\[ \phi(u,v)=tan^{-1}\left[ \frac{I(u,v)}{R(u,v)} \right] \]
频谱能量为
\[ P(u,v) = |F(u,v)|^2 \]
性质：
- 关于原点是共轭对称的：
\[ F(u,v)=F^*(-u,-v) \]
- 幅值是原点对称的：
\[ |F(u,v)|=|F(-u,-v)| \]
- 周期性：
\[ F(u,v) = F(u+M,v) = F(u, v+N) = F(u+M, v+N) \dots \]
在matlab中计算二维傅里叶变换
用fft2函数计算图像的傅里叶变换：
F = fft2(f);查看傅里叶变换的结果，可以发现幅值最大的位置出现在四个角上，它们代表了低频的部分。我们可以对频谱进行平移，使得它们位于中间：
F = fftshift(F);要将频谱变换回图像，使用傅里叶逆变换：
F = ifftshift(F);
f = ifft2(F);频域滤波
根据卷积定理
\[ f(x,y)*h(x,y) \Leftrightarrow H(u,v)F(u,v) \]
以及
\[ f(x,y)h(x,y) \Leftrightarrow H(u,v)*F(u,v) \]
因此可以得到：
\[ g(x, y) = f(x,y)*h(x,y) = \Im ^{-1} [H(u,v)F(u,v)] = \Im ^{-1} [ \Im (h(x,y)) \Im (f(x,y)) ] \]
其中，
\[ \Im \]
表示傅里叶变换，
\[ \Im ^{-1} \]
表示傅里叶逆变换
在matlab里面实现：
[M, N] = size(f);
F = fft2(f);
h = fspecial('average', [5 5]);
H = fft2(h, M, N);
G = F.*H;
g = real(ifft2(G));
imshow(g);频域中直接生成滤波器
低通滤波器
理想低通滤波器
\[ H(u,v) = \begin{cases} 1 & D(u,v)\le D_0 \\ 0 & D(u,v)\le D_0 \\ \end{cases} \]
巴特沃滋低通滤波器
\[ H(u,v) = \frac{1}{1+[D(u,v)/D_0]^{2n}} \]
高斯低通滤波器
\[ H(u,v)=e^{-D^2(u,v)/2\sigma ^2} \]
高通滤波器
基本高通滤波：
\[ H_{hp}(u,v) = 1 - H_{lp}(u,v) \]
高频强调滤波：
\[ H_{hfe}(u,v)=a+bH_{hp}(u,v) \]
在matlab里面实现
理想低通：
f = imread('lena_gray.tif');
[M N] = size(f);
[R C] = meshgrid(1:M, 1:N);
D = sqrt((R-M/2).^2 + (C-N/2).^2);
H = double(D <= 100);
F = fftshift(fft2(f));
G = F.*H;
g = ifft2(ifftshift(G));参考资源
- https://secure.wikimedia.org/wikipedia/zh/w/index.php?title=%E5%82%85%E7%AB%8B%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2&variant=zh-cn
- http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis
- http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%8F%98%E6%8D%A2
- http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform