图像的数学形态学处理
预备知识
集合论
若点w=(x,y)是A的一个元素，记为：
\[ w\in A \]
若点w=(x,y)不是A的一个元素，记为：
\[ w\notin A \]
所有不属于A的坐标的集合，称为A的补集，记为\(A^c\)：
\[ A^c=\{w|w\notin A\} \]
集合A和集合B的并集指所有属于集合A或者集合B的元素的集合，记为
\[ C = A \cup B \]
集合A和集合B的交集是指同时属于这集合的元素的集合，记为
\[ C = A \cap B \]
集合A和集合B的差集记为A-B，指所有属于A但不属于B的元素的集合：
\[ A-B = \{ w|w\in A, w \notin B \} \]
B的映像记为\(\hat{B}\)，定义为
\[ \hat{B} = \{ w|w=-b, b \in B \} \]
对A的平移z(\(z = (z_1, z_2)\))记为\((A)_z\)，定义为
\[ (A)_z=\{ c|c=a+z, a\in A \} \]
二值图像的集合运算
点的集合A可以用一幅二值的图像A来表示：
\[ A(x,y) = \begin{cases} 1 & if (x,y) \in A \\ 0 & if (x,y) \notin A \\ \end{cases} \]
这样，点的集合运算可以表示为二值图像的逻辑运算，比如：
\[ C = A \cup B = \{(x,y)|(x,y) \in A or (x,y) \in B \} \]
等价于
\[ C(x,y) = \begin{cases} 1 & if\ A(x,y) = 1\ or\ B(x,y) = 1 \\ 0 & otherwise \\ \end{cases} \]
例子：
膨胀和腐蚀
膨胀
膨胀是使二值图像变粗的操作。变粗的程度由结构元素来控制。膨胀的过程可以由下图来说明：
膨胀操作记为：
\[ A \oplus B = \{ z|(\hat{B})_z \cap A \neq \phi \} \]
非对称的结构元素，需要先将其映射
在matlab中实现:
C = imdilate(A, B);
结构元素的分解
膨胀运算满足结合律：
\[ A\oplus (B \oplus C) = (A \oplus B) \oplus C \]
如果一个结构元素B可以分解成两个结构元素B1和B2的膨胀
\[ B=B_1\oplus B_2 \]
那么
\[ A\oplus B = A \oplus (B_1 \oplus B_2) = (A \oplus B_1) \oplus B_2 \]
计算膨胀所需要的时间正比于结构元素中非零像素的个数。如果分解后非零像素减少，那就可以节省计算时间。例如
\[ \left[\begin{array}{ccccc} 1 &1& 1& 1& 1\\ 1 &1& 1& 1& 1\\ 1 &1& \boxed{1}& 1& 1\\ 1 &1& 1& 1& 1\\ 1 &1& 1& 1& 1 \end{array}\right] \]
可以分解为
\[ [1\ 1\ \boxed{1}\ 1\ 1] \oplus \left[ \begin{array}{c}1\\1\\\boxed{1}\\1\\1\end{array}\right] \]
常用的结构元素
在matlab中，可以用strel函数，生成一些常用的结构元素。
strel返回的不是矩阵，而是一个strel对象，它可以直接传给imdilate作为参数。也可以通过getnhood得到对应的矩阵。例如：
se = strel('diamond', 3)
B = getnhood(se)腐蚀
腐蚀操作可以细化二值图像。细化的程度同样由一个结构元素控制。下图说明了腐蚀的过程：
腐蚀定义为：
\[ A \ominus B = \{ z|(B)_z \cap A^c = \phi \} \]
腐蚀可以用膨胀来表示：
\[ A \ominus B = \{ z|(B)_z \cap A^c = \phi \} = \{ z|(B)_z \cap A^c \neq \phi \}^c = (A^c \oplus \hat{B})^c \]
在matlab中实现：
C = imerode(A, B);
组合运算
开运算和闭运算
A与B的开运算定义为：
\[ A\circ B = (A \ominus B) \oplus B \]
A与B的闭运算定义为：
\[ A\bullet B = (A \oplus B)\ominus B \]
在matlab中实现：
C = imopen(A, B)
C = imclose(A, B)
击中击不中运算
击中击不中运算定义为：
\[ A \otimes B = (A\ominus B_1) \cap (A^c\ominus B_2) \]
在matlab中实现
c = bwhitmiss(A, B1, B2);
其他复合操作
在matlab中，使用bwmorph可以实现多种形态学运算
用法：
g = bwmorph(f, operation, n);其中，operation是一个指定操作的字符串，n指定操作的重复次数，缺省是1。
例子：
g1 = bwmorph(f, 'thin', 1);
g2 = bwmorph(f, 'thin', 2);
ginf = bwmorph(f, 'thin', Inf);
骨骼化（也称为提取骨架）：
fs = bwmorph(f, 'skel', Inf);
骨骼化的结果中会有一些毛刺，我们可以对起进行修剪，使用endpoints函数实现：
fs = fs&~endpoints(fs)标记连通分量
标记连通分量
一个像素p的上下左右四个像素称为4邻接像素，上下左右再加上四个对角线像素称为8邻接像素。
如果两个像素p1和pn之间存在一系列像素p1,p2,…pn，其中每相邻两个之间都是4邻接的，则称p1和pn是4连通的；如果每相邻两个像素之间都是8邻接的，则称p1和pn是8连通的；如果不存在这样的路径，则称为p1和pn是不连通的。p1,p2,…pn称为p1到pn的一条路径。与p连通的所有像素的集合称为包含p的连通分量。
在matlab中，可以由bwlabel函数来找出连通分量，为不同的连通分量标上不同的标记。
[L num] = bwlabel(f, conn)conn是4或者8，表示选择4连通或者8连通。
形态学重构
形态学重构
重构(reconstruct)操作需要一个标记(marker)图像f、一个掩模(mask)图像g和一个结构元素B，记为\(R_g(f)\)。其中标记图像f必须是掩模图像g的子集。
重构操作的计算过程可以表达为： 1. h1初始化为标记图像，g为掩模，B为结构元素ones(3)； 1. 重复如下操作
\[ h_{k+1} = (h_k \oplus B) \cap g \]
直到\(h_{k+1} = h_k\) 
matlab实现：
h = imreconstruct(marker, mask);由重构做开运算
普通的开运算可以去掉较小的对象，操作是先腐蚀，再膨胀。但是开运算在膨胀中会使形状变形。
可以用重构代替膨胀来做开运算，这个运算定义为\(R_f(f\ominus B)\)
例子：
填充空洞
如果有
\[ f_m(x,y)= \begin{cases} 1-f(x,y) & if\ (x,y)\ is\ on\ the\ border\ of\ f\\ 0 & otherwise \end{cases} \]
则下面这个操作的作用就是填充空洞
\[ g = [R_{f^c}(f_m)]^c \]
在matlab中可以用一个函数实现：
g = imfill(f, 'holes');清除边界对象
如果：
\[ f_m(x,y) = \begin{cases} f(x,y) & if\ (x,y)\ is\ on\ the\ border\ of\ f \\ 0 & otherwise \end{cases} \]
则下面的操作将只保留与图像边缘相连的对象：
\[ R_f(f_m) \]
原图像与它的差集只包含原图像中不与边界接触的对象：
\[ f - R_f(f_m) \]
在matlab中可以使用函数imclearborder实现：
g = imclearborder(f, conn);conn是4或者8，指定4连通或者8连通。